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Lernpfad: Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

Jede Funktion, deren Funktionsgleichung sich in der Form

y=a(x-d)2+e mit a0

darstellen lässt, heißt quadratische Funktion. Ihr Graph ist immer eine Parabel, deren höchsten bzw. tiefsten Punkt man als Scheitelpunkt S der Parabel bezeichnet. Weil es sich bei den Parametern d und e um die Koordinaten des Scheitelpunkts Sde handelt, bezeichnet man diese Darstellung einer quadratischen Funktion als Scheitelpunktform. Der Parameter a ist der Stauchungs- bzw. Streckungsfaktor.

Parameter in der Funktionsgleichung

Vergewissere dich der Rollen, welche die Parameter a, d und e in der Scheitelpunktform für den Graphen spielen, indem du die drei zugehörigen Schieberegler benutzt:

Heftaufschrieb 3

Erläutere die Scheitelpunktform und beschreibe die Rolle ihrer drei Parameter a, d und e.

Aufgaben 3

Anhand der folgenden zwei Aufgaben soll das Verständnis von der Scheitelpunktform gefestigt werden:

Aufstellen der Funktionsgleichung

Ist die Scheitelpunktform y=a(x-d)2+e einer quadratischen Funktion bekannt, so lässt sich der Scheitelpunkt Sde der zugehörigen Parabel unmittelbar ablesen. Umgekehrt lässt sich aber die Funktionsgleichung nicht eindeutig bestimmen, falls nur der Scheitelpunkt bekannt ist.

Überzeuge dich davon, dass für die eindeutige Bestimmung einer Parabel bei gegebenem Scheitelpunkt noch ein weiterer Punkt, durch den die Parabel verläuft, benötigt wird, indem du mit der Maus am Scheitelpunkt S und am weiteren Punkt P der Parabel ziehst:

Aufgaben 4

Anhand der folgenden vier Aufgaben soll das Aufstellen der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen eingeübt werden:

Analogie: Punkt-Steigungs-Form

Bevor du mit der nächsten Lerneinheit beginnst, hast du die Möglichkeit, eine nützliche Darstellungsform linearer Funktionen zu untersuchen, die bemerkenswerte Gemeinsamkeiten mit der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen aufweist. Zur Hervorhebung dieser Gemeinsamkeiten bietet sich eine den obigen Untersuchungen von Parabeln weitgehend analoge Untersuchung von Geraden als Funktionsgraphen an.

Geraden als Funktionsgraphen

Die Graphen linearer Funktionen bezeichnet man als Geraden. Sie können sich in ihrer Steigung und Lage voneinander unterscheiden. Diejenigen linearen Funktionen, deren Graphen Ursprungsgeraden sind, bezeichnet man als proportionale Funktionen. Der Graph der einfachsten proportionalen Funktion ist die Ursprungsgerade mit der Steigung 1.

Ursprungsgerade mit Steigung 1

Die Ursprungsgerade mit der Steigung 1 ist der Graph der proportionalen Funktion mit der Funktionsgleichung y=x. Durch Spiegeln an der x-Achse sowie durch Stauchen, Strecken und Verschieben dieser Geraden lassen sich die Graphen aller linearen Funktionen erzeugen.

Stauchung und Streckung der Ursprungsgeraden mit Steigung 1

Analog zur Vorgehensweise bei der Normalparabel darf man natürlich auch in der Funktionsgleichung der Ursprungsgeraden mit der Steigung 1 die Variable x mit dem Faktor 1 multiplizieren, ohne dass sich dadurch irgendwelche Funktionswerte änderten: y=1x. Um nun zu untersuchen, welche Auswirkungen das Ändern dieses Faktors auf den Graphen hat, wird er durch einen Parameter ersetzt:

y=mx.

Untersuche, was mit dem Graphen passiert, wenn der Parameter m, der dir als Geradensteigung bekannt sein dürfte, in der Funktionsgleichung y=mx verschiedene Werte annimmt, indem du den entsprechenden Schieberegler benutzt:

Verschiebung von Geraden

Untersuche, was mit der Funktionsgleichung y=mx passiert, wenn du den zugehörigen Graphen verschiebst, indem du mit der Maus am Punkt P ziehst:

Lineare Funktionen in Punkt-Steigungs-Form

Jede Funktion, deren Funktionsgleichung sich in der Form

y=m(x-xP)+yP

darstellen lässt, heißt lineare Funktion. Ihr Graph ist immer eine Gerade, die durch den Punkt P geht. Weil es sich bei den Parametern xP und yP um die Koordinaten des Punkts PxPyP und bei dem Parameter m um die Steigung der Geraden handelt, bezeichnet man diese Darstellung einer linearen Funktion als Punkt-Steigungs-Form.

In der dritten Lerneinheit geht es um das Modellieren der Wirklichkeit mit Hilfe quadratischer oder auch linearer Funktionen: