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Lernpfad: Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

Parabeln als Funktionsgraphen

Die Graphen quadratischer Funktionen bezeichnet man als Parabeln. Sie können sich sowohl in ihrer Form als auch in ihrer Lage im Koordinatensystem voneinander unterscheiden. Den Graphen der einfachsten quadratischen Funktion bezeichnet man als Normalparabel.

Normalparabel

Der Graph der quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung y=x2 ist eine Normalparabel. Durch Spiegeln an der x-Achse sowie durch Stauchen, Strecken und Verschieben der Normalparabel lassen sich die Graphen aller quadratischen Funktionen erzeugen.

Stauchung und Streckung der Normalparabel

Beispiel für Stauchung und Streckung in vertikaler Richtung
Abbildung 1

In der Funktionsgleichung y=x2 darf man natürlich den Term x2 mit dem Faktor 1 multiplizieren, ohne dass sich dadurch irgendwelche Funktionswerte änderten: y=1x2. Der zugehörige Graph ist immer noch eine Normalparabel. Um nun zu untersuchen, welche Auswirkungen das Ändern dieses Faktors auf den Graphen hat, wird er durch einen Parameter ersetzt:

y=ax2.

Untersuche, was mit dem Graphen passiert, wenn der Parameter a in der Funktionsgleichung y=ax2 verschiedene Werte annimmt, indem du den entsprechenden Schieberegler benutzt. Achte insbesondere darauf, in welchen Fällen man als Funktionsgraphen eine in y-Richtung gestreckte bzw. gestauchte Parabel erhält:

Versuche, anhand deiner Untersuchungsergebnisse die folgenden Satzbausteine paarweise so zu verbinden, dass nur wahre Aussagen entstehen, indem du mit der Maus an den grünen Punkten ziehst. Überprüfe dein Ergebnis.

Alle Verbindungen sind richtig!
Das ist leider falsch bzw. unvollständig.

Heftaufschrieb 1

Beschreibe deine wesentlichen Erkenntnisse über die Stauchung und Streckung der Normalparabel.

Aufgaben 1

Anhand der folgenden fünf Aufgaben soll die Bedeutung des Parameters a in der Funktionsgleichung y=ax2 für den Verlauf des Graphen verinnerlicht und das Aufstellen solcher Funktionsgleichungen eingeübt werden:

Verschiebung von Parabeln

Untersuche, was mit der Funktionsgleichung y=ax2 passiert, wenn du den zugehörigen Graphen verschiebst, indem du mit der Maus am Punkt S ziehst:

Versuche, anhand deiner Untersuchungsergebnisse die folgenden Fragen zu beantworten:

  • Welche Rolle spielen die Koordinaten des Punkts S beim Verschieben des Graphen?
  • In welcher Form lassen sich die Koordinaten des Punkts S in der Funktionsgleichung wiederfinden?
  • Wie könnte eine allgemeine Funktionsgleichung aussehen, die neben dem Parameter a noch die beiden Koordinaten des Punkts S als zwei weitere Parameter enthält?

Hilfestellung zum systematischen Untersuchen

Nur für a0 ist der Graph eine Parabel. Beim Verschieben der ursprünglichen – zur Funktionsgleichung y=ax2 gehörenden – Parabel in horizontaler und vertikaler Richtung ändern sich beide Koordinaten des Punkts S. Befindet sich dieser schließlich am Ort de, so lautet die neue Funktionsgleichung y=a(x-d)2+e. Die zur verschobenen Parabel gehörende Funktionsgleichung enthält also die beiden neuen Koordinaten des Punkts S als Parameter d und e, welche die Verschiebung der ursprünglichen Parabel festlegen.

Heftaufschrieb 2

Beschreibe deine wesentlichen Erkenntnisse über die Verschiebung von Parabeln.

Aufgaben 2

Anhand der folgenden fünf Aufgaben soll verinnerlicht werden, wie die Verschiebung der zu einer Funktionsgleichung der Form y=ax2 gehörenden Parabel mit der entsprechenden Veränderung der Funktionsgleichung zusammenhängt:

In der zweiten Lerneinheit geht es um die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen:


Abbildungen

  1. Streckung und Stauchung in vertikaler Richtung