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Beim Fermat’schen Prinzip handelt es sich um ein Variationsprinzip, aus dem sich die gesamte Strahlenoptik ableiten lässt:
Jeder Weg, den das Licht von einem Punkt zu einem Punkt wählt, ist stets ein solcher, bei dem die dafür benötigte Laufzeit für kleine (infinitesimale) Änderungen des Wegs unverändert bleibt.
Wird der Weg von nach mit Hilfe eines Parameters variiert, so kommen für das Licht nur solche Parameterwerte in Frage, für welche die Lichtlaufzeit die folgende Bedingung erfüllt:
.
Im --Diagramm sind dies also die Stellen mit waagerechter Tangente.
Variationsprinzipien spielen beispielsweise in der theoretischen Physik eine große Rolle, wenn es darum geht, verschiedene Naturgesetze miteinander in Einklang zu bringen. Aus dem Fermat’schen Prinzip lässt sich die geradlinige Ausbreitung des Lichts innerhalb eines homogenen Mediums leicht ableiten. Interessanter wird es, wenn Zusatzbedingungen hinzukommen. Im Folgenden können Sie das Prinzip von Fermat am Beispiel der Lichtbrechung an der Grenzebene zweier homogener Medien und der Lichtreflexion an einem elliptischen Hohlspiegel anwenden, um jeweils die möglichen Lichtwege zu finden.
Betrachtet werden die möglichen Wege, die das von einem Punkt in Medium 1 ausgehende Licht wählen kann, um zu einem Punkt in Medium 2 zu gelangen. Beide Medien sind homogen und besitzen die Brechungsindizes und . Bezeichnet den Betrag der Vakuumlichtgeschwindigkeit, so breitet sich das Licht in Medium 1 mit einer Geschwindigkeit vom Betrag und in Medium 2 mit einer Geschwindigkeit vom Betrag aus. Der Punkt , in dem das Licht auf die Grenzebene der beiden Medien trifft, befindet sich auf der in der Grenzebene liegenden -
Als Analogie zur Anwendung des Fermat’schen Prinzips auf die Lichtbrechung an der Grenzebene zweier homogener Medien eignet sich das folgende Problem: Eine Rettungsschwimmerin, die sich – wie in der folgenden Abbildung dargestellt – auf einem Sandstrand befindet, fragt sich nach dem schnellsten Weg zum Ertrinkenden.
Welcher Weg ist der schnellste, wenn man davon ausgeht, dass die Rettungsschwimmerin auf dem festen Sand deutlich schneller vorankommt als im Wasser? Kann es einer der drei eingezeichneten Wege sein?
Die Suche nach dem schnellsten Weg ist ein Extremwertproblem, bei dem die benötigte Zeit ein Minimum annehmen soll. Müsste sich die Rettungsschwimmerin wegen kleiner Abweichungen vom schnellsten Weg große Sorgen machen?
Ziehen Sie mit der Maus am Punkt , um den Weg von nach zu variieren.
Betrachtet werden die möglichen Wege, die das von einem Punkt im evakuierten Innern eines elliptischen Hohlspiegels ausgehende Licht wählen kann, um durch Reflexion an der Spiegelwand zu einem Punkt zu gelangen. Das Licht trifft im Punkt auf die Spiegelwand.
Ziehen Sie mit der Maus am Punkt , um den Weg von nach zu variieren.
Abbildungen
