Gleichförmige Kreisbewegung

Betrachtet wird ein Massenpunkt, der eine stets senkrecht zu seiner Geschwindigkeit $\overset{⇀}{v}$ gerichtete Beschleunigung erfährt, deren Betrag sich nicht ändert. Weil diese Beschleunigung den Massenpunkt auf eine Kreisbahn zwingt, auf deren Zentrum sie gerichtet ist, wird sie als Zentripetalbeschleunigung ${\overset{⇀}{a}}_{zp}$ bezeichnet. Da ${\overset{⇀}{a}}_{zp}$ keine Komponente in Richtung von $\overset{⇀}{v}$ besitzt, ändert sich der – als Bahngeschwindigkeit bezeichnete – Betrag der Geschwindigkeit nicht. Man bezeichnet eine solche Kreisbewegung als gleichförmige Kreisbewegung. Das Koordinatensystem wird einfachheitshalber so gewählt, dass die Kreisbahn in der $x$ - $y$ -Ebene liegt und sich das Zentrum der Kreisbahn im Koordinatenursprung befindet.

Neben der Bahngeschwindigkeit $v = | \overset{⇀}{v} |$ und dem Betrag $a_{zp} = | {\overset{⇀}{a}}_{zp} |$ der Zentripetalbeschleunigung gibt es weitere charakteristische Größen einer gleichförmigen Kreisbewegung, die im Folgenden genauer untersucht werden können.

Bahnradius

Der Bahnradius $r$ errechnet sich wie folgt aus der Bahngeschwindigkeit $v$ und dem Betrag $a_{zp}$ der Zentripetalbeschleunigung:

$r = \frac{v^{2}}{a_{zp}}$ .

Umlaufdauer und -frequenz

Der Massenpunkt legt vom Beobachtungsbeginn (Zeitpunkt $t_{0} = 0$ ) bis zu einem späteren Zeitpunkt $t_{1}$ die Wegstrecke $s (t_{1}) = v \cdot t_{1}$ zurück. Wärhend eines vollständigen Umlaufs legt er als Wegstrecke den Kreisumfang zurück. Bezeichnet $T$ die Umlaufdauer, so ist also $s (T) = v \cdot T = 2 π \cdot r$ und damit

$T = \frac{2 π \cdot r}{v} = \frac{2 π \cdot v}{a_{zp}}$ .

Die Umlauffrequenz $f$ ist der Quotient aus der Anzahl der Umläufe und dem zugehörigen Zeitintervall. Weil während der Umlaufdauer genau ein Umlauf stattfindet, ist die Umlauffrequenz gleich dem Kehrwert der Umlaufdauer:

$f = \frac{1}{T} = \frac{a_{zp}}{2 π \cdot v}$ .

Winkelgeschwindigkeit

Der zwischen der $x$ -Achse und dem Ortsvektor $\overset{⇀}{r}$ des Massenpunkts gemessene Drehwinkel $φ$ ändert sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit¹ $\overset{⇀}{ω}$ vom Betrag

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{a_{zp}}{v}$ .

Besitzt $φ$ zu Beobachtungsbeginn den Anfangswert $φ_{0}$ , so gilt zu einem späteren Zeitpunkt $t_{1}$ folglich:

$φ (t_{1}) = φ_{0} + ω \cdot t_{1} = φ_{0} + \frac{a_{zp}}{v} \cdot t_{1}$ .

Simulation

Anhand der folgenden Simulation können Sie untersuchen, wie Bahnradius, Umlaufdauer, Umlauffrequenz und Winkelgeschwindigkeit von der Bahngeschwindigkeit und dem Betrag der Zentripetalbeschleunigung abhängen.

Animation:

Vektoren anzeigen:

Ort

\overset{⇀}{r}

Geschwindigkeit

\overset{⇀}{v}

Zentripetalbeschleunigung

{\overset{⇀}{a}}_{zp}

Fußnoten

Bei der Winkelgeschwindigkeit $\overset{⇀}{ω}$ handelt es sich um einen Vektor, der bei zunehmendem Drehwinkel in die Richtung der $z$ -Achse und bei abnehmendem Drehwinkel in die entgegengesetzte Richtung der $z$ -Achse zeigt. Der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit $\overset{⇀}{v}$ des Massenpunkts, der Winkelgeschwindigkeit $\overset{⇀}{ω}$ und dem Ortsvektor $\overset{⇀}{r}$ des Massenpunkts lautet: $\overset{⇀}{v} = \overset{⇀}{ω} \times \overset{⇀}{r}$ .