Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Betrachtet wird ein Massenpunkt, der sich eindimensional in $x$ -Richtung bewegen kann. Erfährt dieser Massenpunkt eine konstante Beschleunigung $a_{0}$ , so führt er eine geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung durch.

Im Folgenden können Sie untersuchen, wie sich der Ort $x$ und die Geschwindigkeit $v$ des Massenpunkts innerhalb der ersten 8 Sekunden ändern, wenn dieser sich zu Beobachtungsbeginn (Zeitpunkt $t_{0} = 0$ ) mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ am Anfangsort $x_{0}$ befindet.

Weil die Anfangswerte $a_{0}$ , $v_{0}$ und $x_{0}$ anhand der entsprechenden Schieberegler eingestellt werden können, lassen sich die ersten 8 Sekunden verschiedener gleichmäßig beschleunigter Bewegungen untersuchen. Dabei können insbesondere die Änderungen $∆ x = x (t_{1}) - x_{0}$ und $∆ v = v (t_{1}) - v_{0}$ von Ort und Geschwindigkeit bis zu einem konkreten Zeitpunkt $t_{1} \in [0; 8 s]$ betrachtet werden. Zum Festlegen des Zeitpunkts $t_{1}$ steht ebenfalls ein Schieberegler zur Verfügung.

Aufgrund der Einstellbarkeit der drei Anfangswerte können auch Spezialfälle, wie z. B. gleichförmige Bewegungen (für $a_{0} = 0$ ) oder Ruhe (für $a_{0} = 0 \land v_{0} = 0$ ), in die Untersuchung mit einbezogen werden.

Anfangswerte	Änderungen bis $t_{1}$	Bewegungsgleichungen

Zeit-Beschleunigung-Diagramm	Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm	Zeit-Ort-Diagramm

Simulation der Bewegung

Allgemeine Bewegungsgleichungen

Betrachtet wird ein Massenpunkt, der eine geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung in $x$ -Richtung durchführt. Zu Beobachtungsbeginn befindet er sich mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ am Anfangsort $x_{0}$ und erfährt die konstante Beschleunigung $a_{0}$ .

Herleitung der allgemeinen Bewegungsgleichungen

Beschleunigung

Für die Beschleunigung zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ gilt:

$a (t) = a_{0}$ .

Geschwindigkeit

Während des Zeitintervalls $[0; t]$ erfährt die Geschwindigkeit aufgrund der Beschleunigung folgende Änderung:

$∆ v (t) = v (t) - v_{0} = \int_{t^{'} = 0}^{t} a (t^{'}) d t^{'} = \int_{t^{'} = 0}^{t} a_{0} d t^{'} = a_{0} \cdot t$ .

Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ zu erhalten, addiert man zu dieser Geschwindigkeitsänderung die Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ :

$v (t) = ∆ v (t) + v_{0} = a_{0} \cdot t + v_{0}$ .

Ort

Der Geschwindigkeitsverlauf während des Zeitintervalls $[0; t]$ hat folgende Ortsänderung zur Folge:

$∆ x (t) = x (t) - x_{0} = \int_{t^{'} = 0}^{t} v (t^{'}) d t^{'} = \int_{t^{'} = 0}^{t} (a_{0} \cdot t^{'} + v_{0}) d t^{'} = \frac{1}{2} a_{0} \cdot t^{2} + v_{0} \cdot t$ .

Um den Ort zu erhalten, an dem sich der Massenpunkt zum Zeitpunkt $t$ befindet, addiert man zu dieser Ortsänderung den Anfangsort $x_{0}$ :

$x (t) = ∆ x (t) + x_{0} = \frac{1}{2} a_{0} \cdot t^{2} + v_{0} \cdot t + x_{0}$ .

Zusammenfassung

Beschleunigung:
$a (t) = a_{0}$

Geschwindigkeit:
$v (t) = \int_{t^{'} = 0}^{t} a (t^{'}) d t^{'} + v_{0} = \underset{∆ v (t)}{\underset{⏟}{a_{0} \cdot t}} + v_{0}$

Ort:
$x (t) = \int_{t^{'} = 0}^{t} v (t^{'}) d t^{'} + x_{0} = \underset{∆ x (t)}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} a_{0} \cdot t^{2} + v_{0} \cdot t}} + x_{0}$

Die allgemeinen Bewegungsgleichungen für die oben beschriebene Bewegung lauten:

$\begin{array}{rcl} a (t) & = & a_{0}, \\ v (t) & = & a_{0} \cdot t + v_{0}, \\ x (t) & = & \frac{1}{2} a_{0} \cdot t^{2} + v_{0} \cdot t + x_{0} . \end{array}$

Wegstrecke und Bahngeschwindigkeit

Die in manchen Lehrbüchern fehlende Unterscheidung zwischen dem Ort $\overset{⇀}{r} (t)$ , an dem sich ein Massenpunkt zum Zeitpunkt $t$ befindet, und der von ihm bis zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegten Wegstrecke $s (t)$ , die auch als Bahnstrecke bezeichnet wird, führt oft zu Missverständnissen. Es handelt sich nämlich in Wirklichkeit um zwei streng zu unterscheidende physikalische Größen.

Bei einer eindimensionalen Bewegung eines Massenpunkts in $x$ -Richtung ist sein Ort zum Zeitpunkt $t$ der skalare Abstand $x (t)$ , den er zum Zeitpunkt $t$ vom Koordinatenursprung (Nullpunkt) hat. Je nach Vorzeichen von $x (t)$ befindet sich der Massenpunkt also entweder auf der einen oder auf der anderen Seite des Koordinatenursprungs, und zwar im Abstand $| x (t) |$ . Bei jeder noch so kleinen positiven oder negativen Ortsänderung legt der Massenpunkt eine gewisse Wegstrecke zurück. Die insgesamt zurückgelegte Wegstrecke – also die Länge der Bahnkurve des Massenpunkts – wird folglich mit jeder hinzukommenden Ortsänderung größer, und zwar unabhängig davon, ob die Ortsänderung positiv oder negativ ist. Je größer der Betrag der Momentangeschwindigkeit ist, desto schneller erfolgt die Wegstreckenzunahme. Der Betrag der Momentangeschwindigkeit wird deshalb auch Bahngeschwindigkeit genannt.

Für die während des Zeitintervalls $[0; t]$ erfolgte Wegstreckenzunahme gilt:

$∆ s (t) = \int_{t^{'} = 0}^{t} | v (t^{'}) | d t^{'}$ .

Hat der Massenpunkt zu Beobachtungsbeginn (zum Zeitpunkt $t_{0} = 0$ ) bereits eine Anfangswegstrecke $s_{0}$ zurückgelegt, so gilt für die bis zum Zeitpunkt $t$ insgesamt zurückgelegte Wegstrecke:

$s (t) = ∆ s (t) + s_{0} = \int_{t^{'} = 0}^{t} | v (t^{'}) | d t^{'} + s_{0}$ .

Während der Ort eines Massenpunkts mit der Positionsangabe eines Satellitennavigationssystems vergleichbar ist, lässt sich die zurückgelegte Wegstrecke mit dem Stand des Wegstreckenzählers eines Kraftfahrzeugs vergleichen.