Eigenschaften der Binomialverteilung

Betrachtet wird eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ . Die Zufallsvariable $X$ , welche die Anzahl der Erfolge beschreibt, ist binomialverteilt. Die Wahrscheinlichkeit für $k$ Erfolge beträgt

$P (X = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k} für 0 \leq k \leq n$ .

Für den Erwartungswert $μ = E (X)$ , der die durchschnittlich zu erwartende Anzahl an Erfolgen angibt, gilt:

$μ = n \cdot p$ .

Im Folgenden können Sie untersuchen, wie sich die Eigenschaften der Binomialverteilung ändern, wenn Sie die Parameter $n$ und $p$ variieren.

Erwartungswert anzeigen

Wahrscheinlichkeit anzeigen für:

k

Erfolge

k_{min}

bis

k_{max}

Erfolge

Intervallwahrscheinlichkeit

Die Intervallwahrscheinlichkeit für mindestens $k_{min}$ und höchstens $k_{max}$ Erfolge ist die Summe der zu den ganzzahligen Elementen des Intervalls $[k_{min}; k_{max}]$ gehörenden einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

$P (k_{min} \leq X \leq k_{max}) = P (X = k_{min}) + P (X = k_{min} + 1) + … + P (X = k_{max}) = \sum_{i = k_{min}}^{k_{max}} ((\begin{matrix} n \\ i \end{matrix}) \cdot p^{i} \cdot {(1 - p)}^{n - i})$ .

Für $k_{min} = 0$ erhält man die kumulierte Wahrscheinlichkeit für höchstens $k_{max}$ Erfolge:

$P (X \leq k_{max}) = \sum_{i = 0}^{k_{max}} ((\begin{matrix} n \\ i \end{matrix}) \cdot p^{i} \cdot {(1 - p)}^{n - i})$ .

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet man als kumulierte Binomialverteilung.