Lernpfad: Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

Parabeln als Funktionsgraphen

Die Graphen quadratischer Funktionen bezeichnet man als Parabeln. Sie können sich sowohl in ihrer Form als auch in ihrer Lage im Koordinatensystem voneinander unterscheiden. Den Graphen der einfachsten quadratischen Funktion bezeichnet man als Normalparabel.

Normalparabel

Der Graph der quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung $y = x^{2}$ ist eine Normalparabel, die nach oben geöffnet ist und deren tiefster Punkt genau im Koordinatenursprung liegt. Durch Spiegeln an der $x$ -Achse sowie durch Strecken, Stauchen und Verschieben der Normalparabel lassen sich die Graphen aller quadratischen Funktionen erzeugen.

Streckung und Stauchung der Normalparabel

Beispiel für Streckung und Stauchung in vertikaler Richtung — Abbildung 1

In der Funktionsgleichung $y = x^{2}$ darf man natürlich den Term $x^{2}$ mit dem Faktor 1 multiplizieren, ohne dass sich dadurch irgendwelche Funktionswerte änderten: $y = 1 \cdot x^{2}$ . Der zugehörige Graph ist immer noch eine Normalparabel. Um nun zu untersuchen, welche Auswirkungen das Ändern dieses Faktors auf den Graphen hat, wird er durch einen Parameter ersetzt:

$y = a \cdot x^{2}$ .

Untersuche, was mit dem Graphen passiert, wenn der Parameter $a$ in der Funktionsgleichung $y = a \cdot x^{2}$ verschiedene Werte annimmt, indem du den entsprechenden Schieberegler benutzt. Achte insbesondere darauf, in welchen Fällen man als Funktionsgraphen eine in $y$ -Richtung gestreckte bzw. gestauchte Parabel erhält:

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$25$	$16$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$

Wertetabelle anzeigen

Versuche, anhand deiner Untersuchungsergebnisse die folgenden Satzbausteine paarweise so zu verbinden, dass nur wahre Aussagen entstehen, indem du mit der Maus an den grünen Punkten ziehst. Du kannst deine bereits hergestellten Verbindungen zwischendurch überprüfen.

Alle Verbindungen sind richtig!

Das ist leider falsch bzw. unvollständig.

Heftaufschrieb 1.1

Beschreibe deine wesentlichen Erkenntnisse über die Streckung und Stauchung der Normalparabel.

Aufgaben 1.1

Anhand der folgenden fünf Aufgaben soll die Bedeutung des Parameters $a$ in der Funktionsgleichung $y = a \cdot x^{2}$ für den Verlauf des Graphen verinnerlicht und das Aufstellen solcher Funktionsgleichungen eingeübt werden:

Fünf Aufgaben zur Streckung und Stauchung der Normalparabel

Verschiebung von Parabeln

Untersuche, was mit der Funktionsgleichung $y = a \cdot x^{2}$ passiert, wenn du den zugehörigen Graphen verschiebst, indem du mit der Maus am Punkt $S$ ziehst:

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$25$	$16$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$

Wertetabelle anzeigen

Versuche, anhand deiner Untersuchungsergebnisse die folgenden Fragen zu beantworten:

Welche Rolle spielen die Koordinaten des Punkts $S$ beim Verschieben des Graphen?
In welcher Form lassen sich die Koordinaten des Punkts $S$ in der Funktionsgleichung wiederfinden?
Wie könnte eine allgemeine Funktionsgleichung aussehen, die neben dem Parameter $a$ noch die beiden Koordinaten des Punkts $S$ als zwei weitere Parameter enthält?

Hilfestellung zum systematischen Untersuchen

Nur für $a \neq 0$ ist der Graph eine Parabel. Beim Verschieben der ursprünglichen – zur Funktionsgleichung $y = a \cdot x^{2}$ gehörenden – Parabel in horizontaler und vertikaler Richtung ändern sich beide Koordinaten des Punkts $S$ . Befindet sich dieser schließlich am Ort $(d∣ e)$ , so lautet die neue Funktionsgleichung $y = a \cdot {(x - d)}^{2} + e$ . Die zur verschobenen Parabel gehörende Funktionsgleichung enthält also die beiden neuen Koordinaten des Punkts $S$ als Parameter $d$ und $e$ , welche die Verschiebung der ursprünglichen Parabel festlegen.

Heftaufschrieb 1.2

Beschreibe deine wesentlichen Erkenntnisse über die Verschiebung von Parabeln.

Aufgaben 1.2

Anhand der folgenden fünf Aufgaben soll verinnerlicht werden, wie die Verschiebung der zu einer Funktionsgleichung der Form $y = a \cdot x^{2}$ gehörenden Parabel mit der entsprechenden Veränderung der Funktionsgleichung zusammenhängt:

Fünf Aufgaben zur Verschiebung von Parabeln

In der zweiten Lerneinheit geht es um die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen:

Weiter zur Lerneinheit 2

Abbildungen

Streckung und Stauchung in vertikaler Richtung