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Lernpfad: Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

Aufgaben zum Aufstellen der Scheitelpunktform

Bestimme in den Aufgaben die Werte der drei Parameter a, d und e so, dass die gestellten Bedingungen erfüllt werden, um das Aufstellen der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen einzuüben.

Nach der Eingabe deines jeweiligen Ergebnisses erhältst du eine Rückmeldung.

Aufgabe 1 von 4

Gegeben sind der Scheitelpunkt S(2|1) einer Parabel und ein weiterer Punkt P(0|3) auf der Parabel.

Auftrag

Bestimme diejenigen Werte von a, d und e, für die es sich bei dem zur Funktionsgleichung y=a(x-d)2+e gehörenden Graphen um genau diese Parabel handelt.

Parameter in der Funktionsgleichung y=a(x-d)2+e:
a=
 d=
 e=
Das ist richtig!
Das ist leider falsch.

Aufstellen der Scheitelpunktform

Beispiel

Problem:
Von einer Parabel sind nur ihr Scheitelpunkt S(1|2) und ein weiterer Punkt P(2|1) bekannt. Die zugehörige Funktionsgleichung soll rechnerisch bestimmt werden.

Lösung:
Mit den Koordinaten des Scheitelpunkts sind die Werte der Parameter d und e in der Scheitelpunktform y=a(x-d)2+e bereits festgelegt. Man erhält also zunächst die Funktionsgleichung

y=a(x-1)2+2.

Weil allerdings der Wert des Parameters a noch nicht festgelegt ist, gibt es eine unendlich große Schar von Parabeln, die zu dieser Funktionsgleichung gehören. Du kannst dich davon überzeugen, indem du den entsprechenden Schieberegler benutzt:

Vermutlich hast du beim Benutzen des Schiebereglers bereits den passenden Wert des Parameters a herausgefunden. In diesem Beispiel soll der Wert aber rechnerisch bestimmt werden. Dazu setzt man die Koordinaten des Punkts P in die Funktionsgleichung ein und erhält

1=a(2-1)2+2.

Löst man diese lineare Gleichung nach a auf, so erhält man schließlich a=-1. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also

y=-(x-1)2+2.

Der zugehörige Graph erfüllt die gestellten Bedingungen:

Allgemeine Vorgehensweise

Sind von einer quadratischen Funktion der Scheitelpunkt S(xS|yS) und ein weiterer Punkt P(xP|yP) ihres Graphen bekannt, so kann man, um die Funktionsgleichung zu bestimmen, zunächst die Koordinaten xS und yS von S als bereits bekannte Werte der Parameter d und e in die Scheitelpunktform y=a(x-d)2+e einsetzen:

y=a(x-xS)2+yS.

Setzt man nun für x und y noch die Koordinaten des Punkts P ein, so erhält man eine Gleichung, die als einzige Unbekannte den Parameter a enthält:

yP=a(xP-xS)2+yS.

Löst man diese lineare Gleichung nach a auf, so erhält man den benötigten Wert von a und kann diesen in die Scheitelpunktform einsetzen. Das Resultat ist die gesuchte Funktionsgleichung.

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