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Gleichförmige Kreisbewegung

Betrachtet wird ein Massenpunkt, der eine stets senkrecht zu seiner Geschwindigkeit v gerichtete Beschleunigung erfährt, deren Betrag sich nicht ändert. Weil diese Beschleunigung den Massenpunkt auf eine Kreisbahn zwingt, auf deren Zentrum sie gerichtet ist, wird sie als Zentripetalbeschleunigung azp bezeichnet. Da azp keine Komponente in Richtung von v besitzt, ändert sich der – als Bahngeschwindigkeit bezeichnete – Betrag der Geschwindigkeit nicht. Man bezeichnet eine solche Kreisbewegung als gleichförmige Kreisbewegung. Das Koordinatensystem wird einfachheitshalber so gewählt, dass die Kreisbahn in der x-y-Ebene liegt und sich das Zentrum der Kreisbahn im Koordinatenursprung befindet.

Neben der Bahngeschwindigkeit v=v und dem Betrag azp=azp der Zentripetalbeschleunigung gibt es weitere charakteristische Größen einer gleichförmigen Kreisbewegung, die im Folgenden genauer untersucht werden können.

Bahnradius

Der Bahnradius r errechnet sich wie folgt aus der Bahngeschwindigkeit v und dem Betrag azp der Zentripetalbeschleunigung:

r=v2azp.

Umlaufdauer und -frequenz

Der Massenpunkt legt vom Beobachtungsbeginn (Zeitpunkt t0=0) bis zu einem späteren Zeitpunkt t1 die Wegstrecke s(t1)=vt1 zurück. Bezeichnet T die Umlaufdauer, so ist s(T)=2πr und damit

T=2πrv=2πvazp.

Die Umlauffrequenz f ist der Kehrwert der Umlaufdauer:

f=1T=azp2πv.

Winkelgeschwindigkeit

Der zwischen der x-Achse und dem Ortsvektor r des Massenpunkts gemessene Drehwinkel φ ändert sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω vom Betrag

ω=2πT=azpv.

Besitzt φ zu Beobachtungsbeginn den Anfangswert φ0, so gilt zu einem späteren Zeitpunkt t1 folglich:

φ(t1)=φ0+ωt1=φ0+azpvt1.

Simulation

Anhand der folgenden Simulation können Sie untersuchen, wie Bahnradius, Umlaufdauer, Umlauffrequenz und Winkelgeschwindigkeit von der Bahngeschwindigkeit und dem Betrag der Zentripetalbeschleunigung abhängen.

Animation:  
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