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Von der Durchschnittsgeschwindigkeit
zur Momentangeschwindigkeit

Betrachtet wird ein Massenpunkt, der eine eindimensionale Bewegung in x-Richtung durchführt. In einem Zeitintervall t0t1 mit t1=t0+t ändert sich sein Ort um x=x(t1)-x(t0). Für die Durchschnittsgeschwindigkeit des Massenpunkts – also die mittlere Änderungsrate seines Orts – in diesem Zeitintervall der Länge t gilt folglich:

v=xt=x(t1)-x(t0)t=x(t0+t)-x(t0)t.

Je kleiner t ist, desto besser eignet sich diese Durchschnittsgeschwindigkeit als Näherung der Momentangeschwindigkeit, die der Massenpunkt zum Zeitpunkt t0 besitzt.

Im Folgenden können Sie untersuchen, wie sich die Durchschnittsgeschwindigkeit v des Massenpunkts seiner Momentangeschwindigkeit v(t0) annähert, wenn Sie t verkleinern.

Animation:

Momentangeschwindigkeit als Differentialquotient

Die Durchschnittsgeschwindigkeit v im Zeitintervall t0t0+t kommt der Momentangeschwindigkeit v(t0), die der Massenpunkt zum Zeitpunkt t0 besitzt, beliebig nahe, wenn t gegen den Wert 0 strebt. Deshalb erhält man die Momentangeschwindigkeit als Grenzwert:

v(t0)=limt0(x(t0+t)-x(t0)t).

Man kann sich diesen Grenzwert als Differentialquotienten aus der momentanen Ortsänderung dx(t0) zum Zeitpunkt t0 und einer unendlich kurzen Zeitspanne dt vorstellen:

v(t0)=dx(t0)dt.

Gemäß dieser Vorstellung erfährt der Massenpunkt zum Zeitpunkt t0 also die momentane Ortsänderung

dx(t0)=v(t0)dt.