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Bestimmung der Elementarladung
im Millikan-Versuch

In das mit Luft gefüllte Innere eines Plattenkondensators, dessen Platten horizontal gelagert sind, werden Öltröpfchen gegeben, von denen einige eine positive oder negative Ladung tragen. Je nach Zusammenspiel von Gewichtskraft, Reibung, Auftrieb und elektrischer Feldkraft des Plattenkondensators können die Öltröpfchen – unter Vernachlässigung der Brown’schen Molekularbewegung und möglicher Zusammenstöße – nur gleichförmig sinken, gleichförmig steigen oder schweben. Mit Hilfe der Dunkelfeldmikroskopie werden die Öltröpfchen als helle Punkte auf dunklem Bildhintergrund sichtbar gemacht. Die Richtungsumkehr des Mikroskops wird durch den Einsatz einer Kamera aufgehoben, die das Mikroskopbild kopfstehend erfasst.

Der Millikan-Versuch basiert auf der Annahme, dass die elektrische Ladung Q eines jeden Öltröpfchens ein ganzzahliges positives oder negatives Vielfaches einer immer gleichen (positiven) Elementarladung e ist:

Q=ke mit k.

Bei der Durchführung des Versuchs stellt sich tatsächlich heraus, dass man die Elementarladung e erhält, indem man die elektrische Ladung Q eines Öltröpfchens durch die passende ganze Zahl k teilt. Damit ist die Quantelung der elektrischen Ladung nachgewiesen.

Um die elektrischen Ladungen der Öltröpfchen zu bestimmen, nutzt man die Beziehungen zwischen den einzelnen Kräften, die an den Öltröpfchen angreifen. Jedes Öltröpfchen erfährt nämlich eine resultierende Kraft F, die sich aus der Gewichtskraft G, der Auftriebskraft FA, der Reibungskraft FR und der elektrischen Feldkraft Fel zusammensetzt:

F=G+FA+FR+Fel.

Genauere Betrachtung der einzelnen Kräfte

Ist ρÖl die Dichte des Öls, so erfährt ein – als kugelförmig angenommenes – Öltröpfchen vom Radius r unter dem Einfluss der Schwerefeldstärke g die Gewichtskraft

G=43πr3ρÖlg.

Für die Auftriebskraft, die das Öltröpfchen in Luft der Dichte ρLuft erfährt, gilt dann:

FA=-43πr3ρLuftg.

Ist v die Geschwindigkeit des Öltröpfchens, so erfährt es gemäß dem Stokes’schen Gesetz während seiner Bewegung durch Luft der dynamischen Viskosität η die Reibungskraft

FR=-6πηrv.

Trägt das Öltröpfchen die elektrische Ladung Q, so erfährt es unter dem Einfluss der elektrischen Feldstärke E die elektrische Feldkraft

Fel=QE.

Ist U die Kondensatorspannung und d>0 der Abstand der Kondensatorplatten, so gilt für den Betrag der elektrischen Feldstärke:

E=Ud.

Die elektrische Feldstärke E im Innern des Plattenkondensators sei bei positiver Kondensatorspannung U senkrecht nach oben – also in die entgegengesetzte Richtung der Schwerefeldstärke g – gerichtet. Weil sämtliche zu berücksichtigenden Vektorgrößen parallel zueinander gerichtet sind, werden sie durch ihre skalaren Vektorkomponenten in senkrechter Richtung nach oben ersetzt, sodass im Folgenden also g<0 ist.

Simulation des Millikan-Versuchs

Mit Hilfe dieser Simulation des Millikan-Versuchs können Sie die Ladungen geeigneter Öltröpfchen sowohl unter Anwendung der Schwebemethode als auch unter Anwendung der Gleichfeldmethode ermitteln.

Hinweise zur Nutzung der Simulation

Beachten Sie bei der Nutzung der Simulation, dass nur ein 2mm hoher Ausschnitt des insgesamt 5mm hohen Bereichs zwischen den Kondensatorplatten sichtbar ist. Deshalb verschwindet jedes Öltröpfchen erst dann aus der Simulation, wenn es sich bereits um 1,5mm – nach oben oder nach unten – vom sichtbaren Ausschnitt entfernt hat. Sie können also ein Öltröpfchen, das den sichtbaren Ausschnitt verlassen hat, durch die Wahl einer geeigneten Spannung wieder zurückholen, solange es noch keine der beiden Kondensatorplatten erreicht hat.

Die Simulation ist so realistisch gestaltet worden, dass die Anwendung der Cunningham-Korrektur die Genauigkeit der Ergebnisse beträchtlich erhöht. Für die Auswertung der Messergebnisse (ohne Cunningham-Korrektur) kann ein vorbereitetes Tabellendokument benutzt werden.

Tipp: Verwenden Sie für die Zeitmessung eigene Hand-Stoppuhren, damit Sie mit der Maus lediglich die Spannung regeln müssen.

Spannungsquelle

Zeitmessung
Zeitmesser 1:
Zeitmesser 2:

Kenndaten
Abstand der Kondensatorplatten: d=510-3m
Schwerefeldstärke: g=-9,81Nkg
Dichte des Öls: ρÖl=886kgm3
Dichte der Luft: ρLuft=1,3kgm3
Dynamische Viskosität der Luft: η=1,7110-5Nsm2

Sollten Sie keine befriedigenden Messwerte erhalten, können Sie Ersatzmesswerte für die Auswertung heranziehen.

Ersatzmesswerte

Die folgenden Messwerte sind mit Hilfe der Schwebemethode aus der obigen Simulation gewonnen worden. Sie können als Ersatzmesswerte genutzt werden.

Öltröpfchen-Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U0 in V -473 271 -352 -338 452 -268 453 313 -425 321
v in 10-6ms -106,16 -74,04 -87,82 -133,93 -161,99 -95,72 -134,41 -127,55 -63,32 -82,87

Versuchsmethoden

Die beiden im Fogenden dargestellten Versuchsmethoden unterscheiden sich in der Vorgehensweise bei der Ermittlung der elektrischen Ladung Q eines Öltröpfchens. Bei der Schwebemethode – auch Einfeldmethode genannt – werden Öltröpfchen für Messungen herangezogen, die zunächst durch geeignete Wahl der Kondensatorspannung zum Schweben und anschließend durch Ausschalten der Spannungsquelle zum Sinken gebracht werden.

Schwebemethode

Beim Anwenden der Schwebemethode wird ein Öltröpfchen, das die elektrische Ladung Q0 trägt, mit einer geeigneten Kondensatorspannung U00 zum Schweben gebracht. Wenn es schwebt, erfährt das Öltröpfchen die resultierende Kraft F=0. Die Auftriebskraft FA und die elektrische Feldkraft Fel kompensieren nämlich zusammen die Gewichtskraft G:

FA+Fel=-G.

Also gilt:

-43πr3ρLuftg+QU0d=-43πr3ρÖlg.

Daraus folgt:

Q=-43πr3(ρÖl-ρLuft)gdU0.

Der Radius r des Öltröpfchens kann für U=0 aus der Sinkgeschwindigkeit ermittelt werden. In diesem Fall ist die resultierende Kraft F=0, weil die Auftriebskraft FA und die Reibungskraft FR zusammen die Gewichtskraft G kompensieren:

FA+FR=-G.

Also gilt:

-43πr3ρLuftg-6πηrv=-43πr3ρÖlg.

Daraus folgt:

r=9ηv2(ρÖl-ρLuft)g.

Eine besondere Schwierigkeit beim Anwenden der Schwebemethode besteht darin, den exakten Wert der Kondensatorspannung einzustellen, bei dem ein Öltröpfchen schwebt. Dies wird im Realexperiment durch die störende Brown’sche Molekularbewegung, die in der Simulation nicht auftritt, zusätzlich erschwert. Bei der Gleichfeldmethode – auch Zweifeldmethode genannt – werden hingegen Öltröpfchen für Messungen herangezogen, die bei einem fest eingestellten Betrag der Kondensatorspannung durch Wechseln der Polarisation abwechselnd zum Steigen und Sinken gebracht werden.

Gleichfeldmethode

Beim Anwenden der Gleichfeldmethode wird ein Öltröpfchen, das die elektrische Ladung Q0 trägt, zunächst mit einer geeigneten Kondensatorspannung Usteig0 zum Steigen gebracht. In diesem Fall, in dem sich das Öltröpfchen mit einer konstanten Steiggeschwindigkeit vsteig>0 bewegt, erfährt es die resultierende Kraft F=0. Die Auftriebskraft FA und die elektrische Feldkraft Fel kompensieren nämlich zusammen die Summe aus Gewichtskraft G und Reibungskraft FR:

FA+Fel=-(G+FR).

Also gilt:

-43πr3ρLuftg+QUsteigd=-43πr3ρÖlg+6πηrvsteig.

Daraus folgt:

vsteig=2r2(ρÖl-ρLuft)g9η+QUsteig6πηrd.

Anschließend wird das Öltröpfchen mit der betragsmäßig gleichen Kondensatorspannung Usink=-Usteig zum Sinken gebracht. In diesem Fall, in dem sich das Öltröpfchen mit einer konstanten Sinkgeschwindigkeit vsink<0 bewegt, erfährt es die resultierende Kraft F=0, weil die Auftriebskraft FA und die Reibungskraft FR zusammen die Summe aus Gewichtskraft G und elektrischer Kraft Fel kompensieren:

FA+FR=-(G+Fel).

Also gilt:

-43πr3ρLuftg-6πηrvsink=-43πr3ρÖlg-QUsinkd.

Daraus folgt unter Verwendung der Beziehung Usink=-Usteig:

vsink=2r2(ρÖl-ρLuft)g9η-QUsteig6πηrd.

Durch Subtraktion der beiden Geschwindigkeiten und Auflösen der dadurch entstandenen Gleichung nach Q erhält man:

Q=3πηrdUsteig(vsteig-vsink).

Durch Addition der beiden Geschwindigkeiten und Auflösen der dadurch entstandenen Gleichung nach r erhält man:

r=32(vsteig+vsink)η(ρÖl-ρLuft)g.

Bei beiden vorgestellten Methoden wird davon ausgegangen, dass sich die Öltröpfchen in einem homogenen kontinuierlichen Medium bewegen und somit das Stokes’sche Gesetz gilt. Dies ist jedoch nicht der Fall, weil die mittlere freie Weglänge in Luft in der Größenordnung der Radien der Öltröpfchen liegt. Abhilfe schafft die Cunningham-Korrektur, die für eine beträchtliche Erhöhung der Genauigkeit bei der Ladungsbestimmung sorgt.

Cunningham-Korrektur

Um die Cunningham-Korrektur anzuwenden, ersetzt man die dynamische Viskosität η durch eine korrigierte dynamische Viskosität, für die in erster Näherung gilt:

ηkorr=η(1+ar)-1.

Die Konstante a lässt sich empirisch abschätzen und hängt u. a. vom Luftdruck und von der Temperatur ab.

Ist Q die mit der unkorrigierten dynamischen Viskosität η berechnete elektrische Ladung eines Öltröpfchens, so gilt für die korrigierte elektrische Ladung:

Qkorr=Q(1+ar)-32.

Mit e=Qk und ekorr=Qkorrk folgt daraus:

ekorr=e(1+ar)-32.

Also gilt:

e23=ekorr23(1+ar).

Damit wird deutlich, dass e23 eine lineare Funktion von 1r ist. Der korrigierte Wert ekorr der Elementarladung lässt sich also mittels linearer Regression bestimmen, wenn man e23 als Funktion von 1r graphisch aufträgt. Dazu muss der Wert der Konstanten a gar nicht bekannt sein.