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Kräfte auf der schiefen Ebene

Betrachtet wird ein Körper der Masse m, der sich im – zur Vereinfachung als luftleer angenommenen – Schwerefeld der Erde auf einer um den Neigungswinkel α geneigten schiefen Ebene befindet, die für den Körper undurchdringlich ist. Die senkrecht nach unten gerichtete Schwerefeldstärke habe überall den Betrag |g|=9,81Nkg. Es wird im Folgenden angenommen, dass alle auftretenden Kräfte am Schwerpunkt des Körpers angreifen. Außerdem sollen keinerlei Reibungskräfte auftreten.

Unter den oben genannten Vereinfachungen greifen am Körper genau zwei Kräfte an: die Gewichtskraft G, die der Körper im Schwerefeld der Erde aufgrund seiner Masse m erfährt, und die Normalkraft N, die verhindert, dass der Körper die schiefe Ebene durchdringt. Als Reaktionskraft der Ebene kompensiert die Normalkraft nämlich die Normalkomponente der Gewichtskraft, die den Körper senkrecht gegen die Ebene drückt. Als resultierende Kraft bleibt nur die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft übrig, die für eine Beschleunigung des Körpers in Hangabtriebsrichtung sorgt.

Im Folgenden können Sie untersuchen, wie die Normalkraft N sowie die Komponenten GN (in Normalkraftrichtung N) und GH (in Hangabtriebsrichtung H), in die sich die Gewichtskraft zerlegen lässt, vom Neigungswinkel α der Ebene und von der Masse m des Körpers abhängen.

Herleitung einer Formel für die Hangabtriebskraft

Die Normalkraft N kompensiert die Normalkomponente GN der Gewichtskraft G. Ist eN ein Einheitsvektor – also ein Vektor vom Betrag 1 –, der in Normalkraftrichtung zeigt, so muss folglich gelten:

GNeN+N=0GNeN=-N.

Ist außerdem eH ein Einheitsvektor, der in Hangabtriebsrichtung zeigt, so lässt sich die Gewichtskraft folgendermaßen durch zwei Komponenten ausdrücken:

G=GNeN+GHeH=-N+GHeH.

Durch Addition von G und N erhält man die resultierende Kraft F, die in Hangabtriebsrichtung zeigt:

F=G+N=-N+GHeH+N=GHeH.

Für GH gilt:

sin(α)=GH|G|GH=|G|sin(α).

Weil außerdem |G|=m|g| ist, hängt die resultierende Hangabtriebskraft F folgendermaßen von der Masse m und dem Neigungswinkel α ab:

F=m|g|sin(α)eH.

Sie bewirkt eine Beschleunigung a in Hangabtriebsrichtung:

F=maa=1mF=|g|sin(α)eH.