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Eigenschaften der Binomialverteilung

Betrachtet wird eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Die Zufallsvariable X, welche die Anzahl der Erfolge beschreibt, ist binomialverteilt. Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge beträgt

P(X=k)=(nk)pk(1-p)n-k für 0kn.

Für den Erwartungswert μ=E(X), der die durchschnittlich zu erwartende Anzahl an Erfolgen angibt, gilt:

μ=np.

Im Folgenden können Sie untersuchen, wie sich die Eigenschaften der Binomialverteilung ändern, wenn Sie die Parameter n und p variieren.

Intervallwahrscheinlichkeit

Die Intervallwahrscheinlichkeit für mindestens kmin und höchstens kmax Erfolge ist die Summe der zu den ganzzahligen Elementen des Intervalls kminkmax gehörenden einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

P(kminXkmax)=P(X=kmin)+P(X=kmin+1)++P(X=kmax)=i=kminkmax((ni)pi(1-p)n-i).

Für kmin=0 erhält man die kumulierte Wahrscheinlichkeit für höchstens kmax Erfolge:

P(Xkmax)=i=0kmax((ni)pi(1-p)n-i).

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet man als kumulierte Binomialverteilung.