Mit Funktionen die Wirklichkeit modellieren
Funktionale Zusammenhänge begegnen uns im Alltag auf vielfältige Art und Weise. Eine Beschreibung realer Sachzusammenhänge mit Hilfe mathematischer Funktionen nennt man ein mathematisches Modell. Häufig beschreiben mathematische Modelle die Wirklichkeit nur stark vereinfacht.
Beispiel: Wurfbewegung
Wurfbewegungen zeigen einen Verlauf, der sich recht gut mit Parabeln beschreiben lässt. Bei einem Feuerwerk kann man beispielsweise das Entstehen ganzer Parabelfamilien beobachten:
Allerdings lassen sich Wurfbewegungen in der Regel nur näherungsweise mit Parabeln beschreiben, weil äußere Einflüsse wie der Luftwiderstand eine exakt parabelförmige Bahnkurve verhindern. Dennoch kann man unter der Annahme, dass der Einfluss des Luftwiderstands gering ist, quadratische Funktionen für eine vereinfachte Beschreibung von Wurfbewegungen nutzen.
Beispiel: Brückenbogen
Wie man auf dem folgenden Foto, das den Zollamtssteg in Wien zeigt, sehen kann, gibt es Brücken, die parabelförmige Bauteile aufweisen. Versuchen Sie, die gegebene Parabel so gut wie möglich an eines der parabelförmigen Bauteile anzupassen, indem Sie mit der Maus am Scheitelpunkt `S` und am Punkt `P` ziehen:
Probleme mit Funktionen modellieren und lösen
Will man mit Funktionen realistische Probleme modellieren und lösen, so geht man in der Regel in den folgenden Schritten vor:
- Zunächst versucht man, das Problem zu verstehen und zu klären, was gegeben und was gesucht ist. Dazu kann es nötig sein, nach zusätzlichen Informationen zu suchen.
- Anschließend vereinfacht man das Problem so, dass man es mit mathematischen Mitteln lösen kann. Man legt den geeigneten Funktionstyp fest (z. B. linear oder quadratisch) und führt passende Variablen ein.
- Nun rechnet man mit dem gefundenen mathematischen Modell, indem man Funktionsgleichungen aufstellt und die gesuchten Größen bestimmt.
- Hat man eine mathematische Lösung gefunden, so muss man prüfen, ob sie auch sinnvoll ist. Andernfalls muss man es möglicherweise mit anderen Vereinfachungen erneut versuchen.
Aufgaben
In den folgenden Aufgaben sollen reale Zusammenhänge mit Hilfe mathematischer Funktionen modelliert werden:
Bildquellen
- Feuerwerk: http://en.wikipedia.org/wiki/File:White_bright_fireworks.jpg
- Zollamtssteg in Wien: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wien_Fluss_Ende.jpg
