Lernpfad: Quadratische Funktionen

Hilfestellung

Um den Einfluss der Verschiebung des Graphen auf die Gestalt des Funktionsterms zu untersuchen, kann ein systematisches Vorgehen hilfreich sein. Es bietet sich an, die vertikale und die horizontale Verschiebung des Graphen zunächst einzeln zu untersuchen.

Vertikale Verschiebung einer Parabel

Untersuchen Sie, was mit der Funktionsgleichung $y = a x^{2}$ passiert, wenn Sie den zugehörigen Graphen in vertikaler Richtung verschieben, indem Sie mit der Maus am Punkt $S$ ziehen:

Versuchen Sie, anhand Ihrer Untersuchung die folgenden Fragen zu beantworten:

Welche Rolle spielen die Koordinaten des Punkts $S$ ?
Lassen sich die Koordinaten des Punkts $S$ in der Funktionsgleichung wiederfinden?

Für $a \neq 0$ ist der Graph eine Parabel und der Punkt $S$ ihr Scheitelpunkt. Beim Verschieben der Parabel in vertikaler Richtung ändert sich nur die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts. Befindet sich dieser am Ort $(0 | e)$ , so lautet die Funktionsgleichung $y = a x^{2} + e$ . Die zur verschobenen Parabel gehörige Funktionsgleichung enthält also die $y$ -Koordinate ihres Scheitelpunkts als neuen Parameter $e$ , der die Verschiebung der Parabel in vertikaler Richtung festlegt. Die Parabel ist im Fall $e > 0$ nach oben und im Fall $e < 0$ nach unten verschoben.

Horizontale Verschiebung einer Parabel

Untersuchen Sie, was mit der Funktionsgleichung $y = a x^{2}$ passiert, wenn Sie den zugehörigen Graphen in horizontaler Richtung verschieben, indem Sie mit der Maus am Punkt $S$ ziehen:

Versuchen Sie, anhand Ihrer Untersuchung die folgenden Fragen zu beantworten:

Welche Rolle spielen die Koordinaten des Punkts $S$ ?
Lassen sich die Koordinaten des Punkts $S$ in der Funktionsgleichung wiederfinden?

Für $a \neq 0$ ist der Graph eine Parabel und der Punkt $S$ ihr Scheitelpunkt. Beim Verschieben der Parabel in horizontaler Richtung ändert sich nur die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts. Befindet sich dieser am Ort $(d | 0)$ so lautet die Funktionsgleichung $y = a {(x - d)}^{2}$ . Die zur verschobenen Parabel gehörige Funktionsgleichung enthält also die $x$ -Koordinate ihres Scheitelpunkts als neuen Parameter $d$ , der die Verschiebung der Parabel in horizontaler Richtung festlegt. Die Parabel ist im Fall $d > 0$ nach rechts und im Fall $d < 0$ nach links verschoben.