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Lernpfad: Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

Aufgaben zum Aufstellen der Scheitelpunktform

Bestimme in den Aufgaben die Werte der drei Parameter a, d und e so, dass die gestellten Bedingungen erfüllt werden, um das Aufstellen der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen einzuüben.

Überprüfe dein jeweiliges Ergebnis, indem du die entsprechende Schaltfläche benutzt.

Aufgabe 1 von 4

Gegeben sind der Scheitelpunkt S21 einer Parabel und ein weiterer Punkt P03 auf der Parabel. Bestimme diejenigen Werte von a, d und e, für die es sich bei dem zur Funktionsgleichung y=a(x-d)2+e gehörenden Graphen um genau diese Parabel handelt.

Parameter in der Funktionsgleichung y=a(x-d)2+e:
a=
 d=
 e=
Das ist richtig!
Das ist leider falsch.

Aufstellen der Scheitelpunktform

Beispiel

Problem:
Von einer Parabel sind nur ihr Scheitelpunkt S12 und ein weiterer Punkt P21 bekannt. Die zugehörige Funktionsgleichung soll rechnerisch bestimmt werden.

Lösung:
Mit den Koordinaten des Scheitelpunkts sind die Werte der Parameter d und e in der Scheitelpunktform y=a(x-d)2+e bereits festgelegt. Man erhält also zunächst die Funktionsgleichung

y=a(x-1)2+2.

Weil allerdings der Wert des Parameters a noch nicht festgelegt ist, gibt es eine unendlich große Schar von Parabeln, die zu dieser Funktionsgleichung gehören. Du kannst dich davon überzeugen, indem du den entsprechenden Schieberegler benutzt:

Vermutlich hast du beim Benutzen des Schiebereglers bereits den passenden Wert des Parameters a herausgefunden. In diesem Beispiel soll der Wert aber rechnerisch bestimmt werden. Dazu setzt man die Koordinaten des Punkts P in die Funktionsgleichung ein und erhält

1=a(2-1)2+2.

Löst man diese lineare Gleichung nach a auf, so erhält man schließlich a=-1. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also

y=-(x-1)2+2.

Der zugehörige Graph erfüllt die gestellten Bedingungen:

Allgemeine Vorgehensweise

Sind von einer quadratischen Funktion der Scheitelpunkt SxSyS und ein weiterer Punkt PxPyP ihres Graphen bekannt, so kann man, um die Funktionsgleichung zu bestimmen, zunächst die Koordinaten xS und yS von S als bereits bekannte Werte der Parameter d und e in die Scheitelpunktform y=a(x-d)2+e einsetzen:

y=a(x-xS)2+yS.

Setzt man nun für x und y noch die Koordinaten des Punkts P ein, so erhält man eine Gleichung die als einzige Unbekannte den Parameter a enthält:

yP=a(xP-xS)2+yS.

Löst man diese lineare Gleichung nach a auf, so erhält man den benötigten Wert von a und kann diesen in die Scheitelpunktform einsetzen. Das Resultat ist die gesuchte Funktionsgleichung.

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